Question

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=

4 2

3

，|CD|=2-

4 2

3

，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ₀，使

MP

=λ₀

PN

，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，

1

2

）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

），利用AC⊥BD，即

AC

•

BD

=0，可得軌跡方程；
（Ⅱ）確定P的軌跡方程為橢圓（除去長軸的兩個端點），要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+

1

(1+λ0)2

=(

2 2

3

)2，從而可得所求P的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)方程為y=kx+

1

2

，代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出△OPQ面積，換元，利用配方法，可求△OPQ面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

）
又A（0，

2 2

3

），B（0，-

2 2

3

），由AC⊥BD有

AC

•

BD

=0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則M（（1+λ₀）x，y），代入M的軌跡方程（1+λ₀）² x²+y²=1（x≠0）
即

x2

( 1 1+λ0 )2

+y2=1（x≠0），
∴P的軌跡為橢圓（除去長軸的兩個端點）．
要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+

1

(1+λ0)2

=(

2 2

3

)2．
∴λ₀=2，
∴所求P的軌跡方程為9x²+y²=1（x≠0）．…（9分）
（Ⅲ）易知l的斜率存在，設(shè)方程為y=kx+

1

2

，代入橢圓方程可得（9+k²）x²+kx-

3

4

=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

k

9+k2

，x₁x₂=-

3

4(9+k2)

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4k2+27 (9+k2)2

．
令t=k²+9，則|x₁-x₂|=

4t-9 t2

且t≥9．
∴S_△OPQ=

1

2

•

1

2

|x₁-x₂|=

1

4

-9( 1 t - 2 9 )2+ 4 9

，
∵t≥9，
∴0

1

t

≤

1

9

，
∴當

1

t

=

1

9

，即t=9也即k=0時，△OPQ面積取最大值，最大值為

3

12

．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，屬于中檔題．