Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，若S_n=n²a_n，a₁=$\frac{1}{2}$，則a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n，整理出a_n的遞推式，進(jìn)而用疊乘法求得a_n．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴S_n+1=（n+1）²a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n，
∴n²a_n=n（n+2）a_n+1，即na_n=（n+2）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）-1}{（n+1）+1}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{2}{4}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
故答案為：$\frac{1}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式是高考中常考的題型，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和問題，數(shù)列與不等式的綜合等問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．