Question

5．在△ABC中，∠A=90°，邊AC=1，AB=2，過點(diǎn)A作AP⊥BC交BC于P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λμ=$\frac{4}{25}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義求得$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$，而已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，可得λ和μ的值，從而求得λμ的值．

解答 解：由題意可得BC=$\sqrt{5}$，且△ACP∽△BCA，∴$\frac{CP}{AC}=\frac{AC}{BC}$，即 $\frac{CP}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，求得CP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$，而已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λ=$\frac{1}{5}$，μ=$\frac{4}{5}$，
∴λμ=$\frac{4}{25}$，
故答案為：$\frac{4}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．