Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論在R上的單調(diào)性；

（3）對(duì)任意，總有成立，求正整數(shù)的最大值。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）2

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再結(jié)合條件可得；（2）由題意得到，然后根據(jù)的符號(hào)可得到函數(shù)的單調(diào)性；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立求解，然后根據(jù)得到對(duì)恒成立，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值所在的范圍后可得正整數(shù)的最大值．

（1）∵，

∴，

∴．

∵函數(shù)在處的切線與直線垂直，

∴，

解得．

（2）∵，

∴．

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增．

②當(dāng)時(shí)，由，得，

且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（3）由得，

整理得，

由題意得“對(duì)任意，總有成立”等價(jià)于“不等式對(duì)任意恒成立”，

∴，

整理得，

∵，且當(dāng)時(shí)，，

∴．

令，

則，且在上單調(diào)遞增，

∵，

∴存在，使得，

且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

∴，

又，

∴，，

∴，

∴，

又為正整數(shù)，

∴，

∴正整數(shù)的最大值為2．