Question

12．如圖1，已知點E、F、G分別是棱長為a的正方體ABCD-A₁ B₁C_lD₁的棱AA₁、BB₁、DD₁的中點，點M、N、P、Q分別在線段AG、CF、BE、C₁D₁上運動，當以M、N、P、Q為頂點的三棱錐Q-PMN的俯視圖是如圖2所示的正方形時，則點P到QMN的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

Answer 1

分析 可先由俯視圖的特征判斷出Q，P，M，N的位置，再運用等積法求出點P到平面MNQ的距離即可．

解答 解：∵點E、F、G分別是棱長為a的正方體ABCD-A₁ B₁C_lD₁的棱AA₁、BB₁、DD₁的中點，
點M、N、P、Q分別在線段AG、CF、BE、C₁D₁上運動，
∴當以M、N、Q、P為頂點的三棱錐Q-MNP的俯視圖如如圖2所示的正方形時，
M與A重合，Q與D₁重合，P與B重合，N與C重合，
在三棱錐Q-PMN中，V_Q-PMN=V_P-MNQ，
設(shè)P到平面QMN的距離為d，
由點Q到PMN的距離為等于正方體的棱長a，
則$\frac{1}{3}$a•S_△PMN=$\frac{1}{3}$d•S_△MNQ，
即有$\frac{1}{3}$a•$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{3}$d•$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\sqrt{2}$a）²，
解得d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
則點P到QMN的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$．
故答案為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法：等積法，根據(jù)三棱錐的俯視圖，確定Q，P，M，N的位置是解決本題的關(guān)鍵．