Question

11．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（0＜a＜1）的定義域為m＜x＜n，值域是log_a[a（n-1）]＜f（x）＜log_a[a（m-1）]．
（1）求證：m＞3；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域即可證明m＞3；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)性結合對數(shù)函數(shù)的運算性質，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）證明：∵$\frac{x-3}{x+3}$＞0，∴x＞3或x＜-3，
由函數(shù)的定義域是（m，n），
故n＞m＞3或m＜n＜-3，
而值域是log_a[a（n-1）]＜f（x）＜log_a[a（m-1）]，
由對數(shù)函數(shù)的性質得m＞1，n＞1，
故m＞3；
（2）設g（x）=$\frac{x-3}{x+3}$=1-$\frac{6}{x+3}$，
∴g（x）在區(qū)間（3，+∞）遞增，又∵0＜a＜1，
即f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}\frac{n-3}{n+3}{=log}_{a}[a（n-1）]}\\{{log}_{a}\frac{m-3}{m+3}{=log}_{a}[a（m-1）]}\end{array}\right.$，
故log_a$\frac{x-3}{x+3}$=log_a[a（x-1）]，
故$\frac{x-3}{x+3}$=a（x-1），
故ax²+（2a-1）x-3（a-1）=0有2個大于3的實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{a{•3}^{2}+（2a-1）•3-3（a-1）＞0}\\{-\frac{2a-1}{2a}＞3}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的性質的應用，結合對數(shù)函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．