Question

19．數(shù)列{a_n}滿足a₁=1．a(chǎn) _n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．若b _n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）（n∈N+），b₁=-$\frac{3}{2λ}$，且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是$（\frac{1-\sqrt{13}}{4}，0）$∪$（0，\frac{1+\sqrt{13}}{4}）$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1．a(chǎn) _n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．取倒數(shù)變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項公式可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，代入b _n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$），根據(jù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得n≥2時，b_n+1≥b_n，n=1時，由b₂＞b₁，即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1．a(chǎn) _n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b _n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）=（n-2λ）•2ⁿ，b₁=-$\frac{3}{2λ}$，
∵數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴n≥2時，b_n+1≥b_n，∴（n-2λ）•2ⁿ≥（n-1-λ）•2^n-1，
化為：λ≤$\frac{1}{3}（n+1）$，∴λ≤$\frac{2}{3}$．
n=1時，由b₂＞b₁，可得：（1-2λ）×2$＞-\frac{3}{λ}$，
λ＞0時，化為：4λ²-2λ-3＜0，解得0＜λ＜$\frac{1+\sqrt{13}}{4}$．
λ＜0時，化為：4λ²-2λ-3＞0，解得$\frac{1-\sqrt{13}}{4}$＜λ＜0．
綜上可得：實數(shù)λ的取值范圍是 $（\frac{1-\sqrt{13}}{4}，0）$∪$（0，\frac{1+\sqrt{13}}{4}）$．
故答案為：$（\frac{1-\sqrt{13}}{4}，0）$∪$（0，\frac{1+\sqrt{13}}{4}）$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．