Question

6．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合．
（1）若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，2），求sinαcosα的值；
（2）若角α的終邊在直線y=-3x上，求10sinα+$\frac{3}{cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα、cosα的值，可得sinαcosα的值．
（2）分角α的終邊在第二象限、角α的終邊在第四象限兩種情況，分別利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα、cosα的值，可得10sinα+$\frac{3}{cosα}$的值．

解答 解：（1）由題知：x=-1，y=2，則r=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sinαcosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•（-\frac{\sqrt{5}}{5}）$=-$\frac{2}{5}$．
（2）當(dāng)角α的終邊在第二象限，在它的終邊上任意任意取一點(diǎn)A（-1，3），
則x=-1，y=3，r=|OP|=$\sqrt{10}$，∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{-1}{\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故 10sinα+$\frac{3}{cosα}$=3$\sqrt{10}$-3$\sqrt{10}$=0．
當(dāng)角α的終邊在第四象限，在它的終邊上任意任意取一點(diǎn)A（1，-3），
則x=1，y=-3，r=|OP|=$\sqrt{10}$，∴sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{-3}{\sqrt{10}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故 10sinα+$\frac{3}{cosα}$=-3$\sqrt{10}$+3$\sqrt{10}$=0．
綜上可得 10sinα+$\frac{3}{cosα}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．