Question

10．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直線PC與底面ABCD所成的角45°，E，F(xiàn)，M分別是BC，PC，PA的中點(diǎn)．
（1）PC∥平面MBD；
（2）證明：AE⊥PD；
（3）求二面角E-AF-C的余弦值；
（4）若PA=2，求棱錐C-PAD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OM，利用中位線定理得出OM∥PC，故而PC∥平面MBD；
（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由菱形的性質(zhì)得出AE⊥BC，故而AE⊥AD，于是AE⊥平面PAD，故而AE⊥PD；
（3）建立空間坐標(biāo)系，使用向量法解出；
（4）以△ACD為底面，PA為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 （1）證明：連結(jié)BD交AC與O，連結(jié)MO
∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PA的中點(diǎn)，
∴MO∥PC，∵M(jìn)O?平面MBD，PC?平面MBD，
∴PC∥平面MBD．

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，BC∥AD，
∵E是BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
∴AE⊥AD，又PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（3）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA為直線PC與平面ABCD所成的角，
∴∠PCA=45°．∴PA=AC，
設(shè)AB=a，則A（0，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0，0），C（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），P（0，0，a），∴F（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\frac{a}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0$，$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}ax=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}ax+\frac{1}{4}ay+\frac{1}{2}az=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，-2，1）．
設(shè)平面ACF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AF}=0$，$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}ax}{4}+\frac{ay}{4}+\frac{az}{2}=0}\\{\frac{\sqrt{3}ax}{2}+\frac{ay}{2}=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{{n}_{1}}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{{n}_{2}}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角E-AF-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
（4）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA為直線PC與平面ABCD所成的角，
∴∠PCA=45°，∴AC=PA=2，
∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{C}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴V_C-PAD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行與垂直的性質(zhì)與判定，空間角的計(jì)算和棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．