Question

2．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范圍；
（2）若$\frac{1}{a}+\frac{1}≥|{2x-1}|-|{x+1}|$恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由基本不等式可得；（2）問題轉(zhuǎn)化為|2x-1|-|x+1|≤4，去絕對值化為不等式組，解不等式組可得．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴ab${≤（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時“=”成立，
由ab≤m恒成立，故m≥$\frac{1}{4}$；
（2）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥4，
當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時“=”成立，
若$\frac{1}{a}+\frac{1}≥|{2x-1}|-|{x+1}|$恒成立，
則只需|2x-1|-|x+1|≤4即可，
只需$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-（2x-1）+（x+1）≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜\frac{1}{2}}\\{-（2x-1）-（x+1）≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）≤4}\end{array}\right.$，
解得：-2≤x≤6．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，分段函數(shù)知識，考查運算能力，轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想，是一道中檔題．