Question

1．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，Q是CC₁的中點，F(xiàn)是側面BCB₁C₁內的動點且A₁F∥平面D₁AQ，則A₁F與平面BCB₁C₁所成角的正切值得取值范圍為[2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點．分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A₁MN∥平面D₁AE，從而得到A₁F是平面A₁MN內的直線．由此將點F在線段MN上運動并加以觀察，即可得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角取最大值、最小值的位置，由此不難得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍．

解答 解：設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結合A₁F∥平面D₁AE，
可得直線A₁F?平面A₁MN，即點F是線段MN上上的動點．
設直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運動點F并加以觀察，可得：
當F與M（或N）重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，
此時所成角θ達到最小值，滿足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}M}$=2；
當F與MN中點重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達到最大值，
滿足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{\frac{\sqrt{2}}{2}B}_{1}M}$=2$\sqrt{2}$，
∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2$\sqrt{2}$]
故答案為：[2，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題給出正方體中側面BCC₁B₁內動點F滿足A₁F∥平面D₁AE，求A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍，著重考查了正方體的性質、直線與平面所成角、空間面面平行與線面平行的位置關系判定等知識．