Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（sin（2x+$\frac{π}{3}$），a），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）若f（x+m）為偶函數(shù)，求正數(shù)m的最小值；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的定義和偶函數(shù)的定義可得2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，通過(guò)k的取值，即可得到最小正數(shù)m；
（2）由題意可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）和y=-a在[-$\frac{π}{2}$，0]上有兩個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{5π}{12}$]遞減，在[-$\frac{5π}{12}$，0]遞增，即可求得最值，進(jìn)而得到-a的范圍，解得a的范圍即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow$=（sin（2x+$\frac{π}{3}$），a），
則f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，
f（x+m）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）+a，
若f（x+m）為偶函數(shù)，
則2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即有m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，m的最小值為$\frac{π}{12}$；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則有y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）和y=-a在[-$\frac{π}{2}$，0]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
由于y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{5π}{12}$]遞減，在[-$\frac{5π}{12}$，0]遞增，
在x=-$\frac{5π}{12}$時(shí)，取得最小值為-2，
在x=-$\frac{π}{2}$時(shí)，取得-$\sqrt{3}$，在x=0時(shí)，取得$\sqrt{3}$．
則有當(dāng)-2＜-a≤-$\sqrt{3}$時(shí)，即為$\sqrt{3}$≤a＜2，
y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）和y=-a在[-$\frac{π}{2}$，0]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
則所求a的范圍為[$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．