Question

9．如圖，過圓外一點(diǎn)P作直線AB的垂線，垂足為F，交圓于C，E兩點(diǎn)，PD切圓于D，連接AD交EP于G．
（1）求證：PD=PG；
（2）若AC=BD，求證：AB=ED．

Answer 1

分析 （1）證明PG=PD，只需證明∠PDG=∠PGD；
（2）證明Rt△BDA≌Rt△ACB，再證明∠DCE為直角，即可證明AB=ED．

解答 證明：（1）∵PD為切線，∴∠PDA=∠DBA，
∵AB為圓的直徑，
∴∠BDA=90°，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠DBA=∠EGA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠PDG=∠PGD，
∴PG=PD；
（2）連接BC，DC，則
∵AB為圓的直徑，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE為直角，
∴ED為圓的直徑，
∵AB為圓的直徑，
∴AB=ED．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查直徑所對的圓周角為直角，屬于中檔題．