Question

8．設(shè)f（x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$．
（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1-a）的值；
（2）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得f（a）+f（1-a）=1；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用倒序相加法，可得f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$．
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
f（a）=$\frac{{9}^{a}}{{9}^{a}+3}$，f（1-a）=$\frac{{9}^{1-a}}{{9}^{1-a}+3}$=$\frac{3}{{9}^{a}+3}$，
∴f（a）+f（1-a）=1，
（2）令S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$），
則S=f（$\frac{2014}{2015}$）+f（$\frac{2013}{2015}$）+…+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{1}{2015}$），
由（1）中結(jié)論可得：2S=2014，
故S=1007，
即f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)求值，根據(jù)已知求出當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（a）+f（1-a）=1是解答的關(guān)鍵．