Question

1．已知函數(shù)f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)確定f（x）的定義域，根據(jù)真數(shù)的范圍確定函數(shù)的值域；
（2）利用奇偶性定義證明f（x）為偶函數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)式，自變量x需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，
解得，x∈（-3，3），即函數(shù)的定義域為（-3，3），
又f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（9-x²）
∵9-x²∈（0，9]，∴l(xiāng)og₃（9-x²）∈（-∞，2]，
即f（x）的值域為（-∞，2]；
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，
且f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

點評 本題主要考查了函數(shù)定義域，值域的求法，函數(shù)奇偶性的判斷與證明，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．