Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=1+（1+a）x-x²-x³，其中a＞0．討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x＞$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
由f′（x）＞0得$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
故f（x）在（-∞，$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$）和（$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，+∞）單調(diào)遞減，
在（$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．