Question

已知f（x+1）是偶函數(shù)，f（x+2）是奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2^x-1，則f（log₂1008）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+1）是偶函數(shù)，f（x+2）是奇函數(shù)，可得f（-x+1）=f（x+1），f（-x+2）=-f（x+2）．于是f（x+2）=-f（-（x-1）+1）=-f（x-1+1）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．又9＜log₂1008＜10，1＜log₂1008-8＜2．可得0＜2-log2

63

16

＜1．即可得出．

解答： 解：∵f（x+1）是偶函數(shù)，f（x+2）是奇函數(shù)，
∴f（-x+1）=f（x+1），f（-x+2）=-f（x+2）．
∴f（x+2）=-f（-（x-1）+1）=-f（x-1+1）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
即函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．
∴9＜log₂1008＜10．
∴1＜log₂1008-8＜2．
∴0＜2-log2

63

16

＜1．
∴f（log₂1008）=f(log2

63

16

)
=f(1+log2

63

16

-1)
=f(1-(log2

63

16

-1))
=f(2-log2

63

16

)=f(log2

64

63

)=2log2

64

63

-1=

1

63

．
故答案為：

1

63

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性及其周期性、對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．