Question

如圖，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）設(shè)C₂與y軸的交點為M，過坐標(biāo)原點O的直線l與C₂相交于點A，B，直線MA，MB分別與C₁相交與D，E．
（i）證明：MA⊥MB；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S₁，S₂．問：是否存在直線l，使得

S1

S2

=

17

32

？請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知e=

c

a

=

3

2

，2

b

=a，由此能求出C₁，C₂的方程．
（2）（i）設(shè)直線l的方程為y=kx．由

y=kx y=x2-1

得x²-kx-1=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明MA⊥MB．
（ii）設(shè)直線的斜率為k₁，則直線的方程為y=k₁x-1，由

y=k1x-1 y=x2-1

，得點A(k1，k12-1)，由時B(-

1

k1

，

1

k12

-1)．于是S1=

1

2

|MA|•|MB|=

1

2

1+k12

•|k1|•

1+ 1 k12

•|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

，同理S2=

1

2

|MD|•|ME|=

32(1+k12)•|k1|

(1+4k12)(4+k12)

，由題意知，

1

64

(4k12+

1

k12

+17)=

17

32

，由此求出滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為y=

3

2

x和y=-

3

2

x．

解答： （1）解：由題意知e=

c

a

=

3

2

，
從而a=2b，又2

b

=a，解得a=2，b=1．
故C₁，C₂的方程分別為

x2

4

+y2=1，y=x2-1．（4分）
（2）（i）證明：由題意知，直線l的斜率存在，
設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx．
由

y=kx y=x2-1

得x²-kx-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，
于是x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，（5分）
又點M的坐標(biāo)為（0，-1），
∴kMA•kMB=

y1+1

x1

•

y2+1

x2

=

(kx1+1)(kx2+1)

x1x2

=

k2x1x2+k(x1+x2)+1

x1x2

=

-k2+k2+1

-1

=-1，（7分）
故MA⊥MB，得證．
（ii）解：設(shè)直線的斜率為k₁，
則直線的方程為y=k₁x-1，
由

y=k1x-1 y=x2-1

，解得

x=0 y=-1

或

x=k1 y=k12-1

，
則點A的坐標(biāo)為(k1，k12-1)
又直線MB的斜率為-

1

k1

，
同理可得點B的坐標(biāo)為(-

1

k1

，

1

k12

-1)．
于是S1=

1

2

|MA|•|MB|=

1

2

1+k12

•|k1|•

1+ 1 k12

•|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

．（8分）
由

y=k1x-1 x2+4y2-4=0

，得(1+4k12)x2-8k1x=0，
解得

x=0 y=-1

或

x= 8k1 1+4k12 y= 4k12-1 1+4k12

，
則點D的坐標(biāo)為(

8k1

1+4k12

，

4k12-1

1+4k12

)，
又直線的斜率為-

1

k1

，同理可得點E的坐標(biāo)(

-8k1

4+k12

，

4-k12

4+k12

)，
于是S2=

1

2

|MD|•|ME|=

32(1+k12)•|k1|

(1+4k12)(4+k12)

，（10分）
因此

S1

S2

=

1

64

(4k12+

1

k12

+17)，（12分）
由題意知，

1

64

(4k12+

1

k12

+17)=

17

32

，
解得k12=4，或k12=

1

4

．（12分）
又由點A，B的坐標(biāo)可知，k=

k12- 1 k12

k1+ 1 k1

=k1-

1

k1

，∴k=±

3

2

．
故滿足條件的直線l存在，且有兩條，
其方程分別為y=

3

2

x和y=-

3

2

x．（13分）

點評：本題考查橢圓方程和曲線方程的求法，考查滿足條件的直線方程的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．