Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=（log₂x）²-log₂x^2a+a²-1，在[2^a-1，2${\;}^{{a}^{2}-2a+2}$]上的值域?yàn)閇-1，0]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=log₂x，∵x∈[2^a-1，2${\;}^{{a}^{2}-2a+2}$]，∴t∈[a-1，a²-2a+2]，再結(jié)函數(shù)圖象等價(jià)轉(zhuǎn)化求解．

解答 解：令t=log₂x，∵x∈[2^a-1，2${\;}^{{a}^{2}-2a+2}$]，
∴t∈[a-1，a²-2a+2]，則：
f（x）=g（t）=t²-2at+a²-1=（t-a）²-1，
當(dāng)函數(shù)g（t）的值域?yàn)閇-1，0]時(shí)，即（t-a）²-1∈[-1，0]，
解得，t∈[a-1，a+1]，且t=a時(shí)，g（t）取得最小值-1，
再結(jié)合二次函數(shù)g（t）的圖象，要使t∈[a-1，a²-2a+2]，g（t）∈[-1，0]，
則a²-2a+2∈[a，a+1]，即$\left\{\begin{array}{l}{a^2-2a+2≥a}\\{a^2-2a+2≤a+1}\end{array}\right.$，
解得a∈[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，1]∪[2，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及含參值域問題的解法，運(yùn)用了換元法與數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．