Question

6．已知圓x²+y²-2x+4y+m=0和直線x-y-2=0交于P，Q兩點．若OP⊥OQ（O為原點），求m的值．

Answer 1

分析 由已知中，圓圓x²+y²-2x+4y+m=0和直線x-y-2=0交于不同的P，Q兩點，使用“設而不求”、“聯(lián)立方程”以及“韋達定理”的方法，結合OP⊥OQ，可以構造一個關于m的方程，解方程即可求出滿足條件的m的值．

解答 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線與圓方程得到：$\left\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\{x}^{2}{+y}^{2}-2x+4y+m=0\end{array}\right.$，消去x化簡可得：
（y+2）²-2（y+2）+y²+4y+m=0
整理得：2y²+6y+m=0
則：y₁+y₂=3，y₁•y₂=m，
∴x₁•x₂=（y₁+2）•（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=m+10
已知OP⊥OQ
則，K_op•K_oq=-1
即：y₁•y₂+x₁•x₂=0
∴2m+10=0
∴m=-5
故答案為：-5．

點評 本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，其中“設而不求”、“聯(lián)立方程”以及“韋達定理”的方法，是解答直線與圓錐曲線（包括圓）位置關系中，最常用的方法，一定要熟練掌握．