Question

已知函數(shù)f(x)＝xe^－x.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>f，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題知，f′(x)＝(1－x)e^－x(x∈R)，當(dāng)f′(x)>0時(shí)，x<1，當(dāng)f′(x)<0時(shí)，x>1，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)，

其極大值為f(1)＝，無(wú)極小值．

(2)由題知，0<x<1，當(dāng)k≤0時(shí)，

因?yàn)?sub>≤0<x<1，由(1)知，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)>f，符合題意；

當(dāng)0<k<1時(shí)，取x＝k，可得f(k)>f(1)，這與函數(shù)在(－∞，1)上單調(diào)遞增不符；

當(dāng)k≥1時(shí)，因?yàn)?sub>≥>1，由(1)知，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，

所以f≤f，即只需證f(x)>f，即證xe^－x>e－，

即ln x－x>－ln x－ ,2ln x－x＋>0，令h(x)＝2ln x－x＋(0<x<1)，

則h′(x)＝<0對(duì)0<x<1恒成立，所以h(x)為(0,1)上的減函數(shù)，所以h(x)>h(1)＝0，

所以f(x)>f，符合題意．

綜上知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是k∈(－∞，0]∪[1，＋∞)．