Question

4．如圖，邊長為$\sqrt{2}$的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=$\frac{1}{2}$AB=1，點M在線段EC上．
（Ⅰ）證明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判斷點M的位置，使得三棱錐B-CDM的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{18}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：ED⊥平面ABCD，BD⊥平面ADEF，即可證明平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）在平面DMC內(nèi)，過M作MN⊥DC，垂足為N，則MN∥ED，利用三棱錐的體積計算公式求出MN，可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵DC=BC=1，DC⊥BC，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∵AD=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADEF，
∵BD?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）解：如圖，在平面DMC內(nèi)，過M作MN⊥DC，垂足為N，則MN∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵V_B-CDM=V_M-CDB=$\frac{1}{3}MN•{S}_{△BDC}$=$\frac{\sqrt{2}}{18}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×MN$=$\frac{\sqrt{2}}{18}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{MN}{ED}=\frac{CM}{CE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴CM=$\frac{1}{3}$CE，
∴點M在線段CE的三等分點且靠近C處．

點評 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計算，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．