Question

14．如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC中，AE=$\sqrt{3}$，平面AEFC⊥平面ABCD，點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）若點(diǎn)A，B，C，E，F(xiàn)都在球O的球面上，求球O的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥AC，利用平面AEFC⊥平面ABCD，可得BC⊥平面AEFC，所以BC⊥AG，再證明AG⊥CG，即可證明AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道CA，CB，CF兩兩垂直，所以可以把四棱錐B-AEFC補(bǔ)成以CA，CB，CF為同一頂點(diǎn)的一個(gè)長(zhǎng)方體，求出外接球的直徑，即可求球O的表面積．

解答 （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，因?yàn)锳D=DC=CB=2，AB=4，
所以cos∠CBA=$\frac{\frac{4-2}{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，所以∠ABC=60°
由余弦定理求得AC=$\sqrt{4+16-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
從而∠ACB=90°即BC⊥AC，
又因?yàn)槠矫鍭EFC⊥平面ABCD，所以BC⊥平面AEFC，
所以BC⊥AG，…（3分）
在矩形AEFC中，tan∠AGE=$\frac{AE}{EG}$=1，所以∠AGE=$\frac{π}{4}$，tan∠CGF=$\frac{CF}{GF}$=1，所以$∠CGF=\frac{π}{4}$，
所以∠CGF+∠AGE=$\frac{π}{2}$，即AG⊥CG，
因?yàn)锽C∩CG=C
所以AG⊥平面BCG；…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知道CA，CB，CF兩兩垂直，所以可以把四棱錐B-AEFC補(bǔ)成以CA，CB，CF為同一頂點(diǎn)的一個(gè)長(zhǎng)方體，…（8分）
其外接球的直徑2R=$\sqrt{12+4+3}$=$\sqrt{19}$，
所以球O的表面積是S=4π•$（\frac{\sqrt{19}}{2}）^{2}$=19π．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查球O的表面積，正確運(yùn)用線面垂直的判定，求出外接球的直徑是關(guān)鍵．