Question

12．某農(nóng)戶種植甲、乙兩種有機蔬菜，已知種植每噸甲種有機蔬菜需要用A原料3噸，B原料2噸；種植每噸乙種有機蔬菜需要用A原料1噸，B原料3噸；銷售每噸甲種有機蔬菜可獲得利潤為5萬元，銷售每噸乙種有機蔬菜可獲得利潤為3萬元元，該農(nóng)戶在一個種植周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸．那么該農(nóng)戶可獲得最大利潤是多少？

Answer 1

分析 先設(shè)該農(nóng)戶種植甲蔬菜為x噸，乙蔬菜為y噸，列出約束條件，根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=5x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=5x+3y過可行域內(nèi)的點時，從而得到z的最大值．

解答 解：設(shè)種植甲種有機蔬菜x噸，乙種有機蔬菜y噸，利潤為z，
則有z=5x+3y，且x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≤13}\\{2x+3y≤18}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
如圖所示作出可行域后，求出可行域邊界上各端點的坐標．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=13}\\{2x+3y=18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
分析可知當直線y=$\frac{z-5x}{3}$經(jīng)過點（3，4），
即種植甲種有機蔬菜3噸，乙種有機蔬菜4噸時，可獲得最大利潤為27萬元．

點評 在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件；②由約束條件畫出可行域；③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系；④使用平移直線法求出最優(yōu)解；⑤還原到現(xiàn)實問題中．