Question

直線x＝1與拋物線C：y²＝4x交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，記＝a＋b(a，b∈R)，其中O為拋物線C的頂點(diǎn)．

(1)當(dāng)與平行時(shí)，b＝________；

(2)給出下列問題：

①∀a，b∈R，△PMN不是等邊三角形；

②∃a＜0且b＜0，使得與垂直；

③無論點(diǎn)P在準(zhǔn)線上如何運(yùn)動，a＋b＝－1總成立．

其中，所有正確命題的序號是________．

Answer 1

(1)－1　(2)①②③

[解析]　(1)當(dāng)與平行時(shí)，根據(jù)圖形的對稱知原點(diǎn)O為線段PN的中點(diǎn)，則＝－，所以b＝－1.

(2)若△PMN為等邊三角形，則P點(diǎn)為準(zhǔn)線x＝－1與x軸的交點(diǎn)，由題意P(－1,0)，可取M(1,2)，N(1，－2)，|MN|＝4，則|PM|＝|PN|＝2≠|(zhì)MN|，故①正確；設(shè)P(－1，y)，令則(－1，y)·(1，－2)＝0，即y＝－，則解得a＝－，b＝－，故②正確；根據(jù)圖形的對稱性知，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q必在直線MN上，則＝由于點(diǎn)M，N，Q三點(diǎn)共線，則(－a)＋(－b)＝1，即a＋b＝－1，故③正確．綜上可知，①②③正確．