Question

已知二次函數y=f（x）的圖象與函數y=x²-1的圖象關于點P（1，0）成中心對稱，
（1）f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m、n，滿足f（x）定義域為[m，n]時，值域為[m，n]，若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）在y=f（x）上任取點（x，y），由二次函數y=f（x）的圖象與函數y=x²-1的圖象關于點P（1，0）成中心對稱可得：（2-x，-y）在y=x²-1上，代入整理可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）≤1，可得n≤1＜2，故f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調遞增函數，即則f（x）=x有兩個不等實根m、n，即x²-3x+3=0有兩個不等實根m、n，判斷△的符號，即可得到結論．

解答： 解：（1）在y=f（x）上任取點（x，y），
∵二次函數y=f（x）的圖象與函數y=x²-1的圖象關于點P（1，0）成中心對稱，
∴（2-x，-y）在y=x²-1上，
則有-y=（2-x）²-1，
即y=-（x-2）²+1
∴f（x）=-（x-2）²+1
（2）假設存在實數m、n，滿足題意，
∵f（x）≤1，
∴n≤1＜2，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調遞增函數
則f（x）=x有兩個不等實根m、n，
即x²-3x+3=0有兩個不等實根m、n
∵△=3²-4×3=-3＜0，方程無解．
∴不存在

點評：本題考查的知識是二次當函數的圖象和性質，函數的對稱變換，函數零點與方程根的關系，是函數，方程，不等式的綜合應用，難度中檔．