Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

n

（lga₁+lga₂+…+lga_n）（n∈N^*），記S_n=（b₁+b₂+…+b_n）（n∈N^*）
（1）若數(shù)列{a_n}的首項a₁=10，公比q=100，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，求S_n的最大值；
（3）是否存在實數(shù)k，使得

1

lga1lga2

+

1

lga2lga3

+…+

1

lgan-1lgan

=+

n+k

lga1lgan

對于任意的正整數(shù)n恒成立？若存在，請求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}的通項公式，結(jié)合前n項和的公式，即可判斷求S_n的最大值；
（3）假設(shè)存在實數(shù)k，使得

1

lga1lga2

+

1

lga2lga3

+…+

1

lgan-1lgan

=

n+k

lga1lgan

對于任意的正整數(shù)n恒成立？利用裂項法進(jìn)行化簡即可．

解答： 解：（1）若數(shù)列{a_n}的首項a₁=10，公比q=100，則a_n=10×100^n-1，則lga_n=lg10×100^n-1=lg10^2n-1=2n-1為等差數(shù)列，
∴b_n=

1

n

（lga₁+lga₂+…+lga_n）=

1

n

×

1+2n-1

2

×n=n．
（2）在（1）的條件下，b_n=n．則數(shù)列{b_n}的遞增的等差數(shù)列，S_n無最大值；
（3）∵lga_n=2n-1，
∴

1

lgan-1lgan

=

1

(2n-3)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-3

-

1

2n-1

），
假設(shè)存在實數(shù)k，使得

1

lga1lga2

+

1

lga2lga3

+…+

1

lgan-1lgan

=

n+k

lga1lgan

對于任意的正整數(shù)n恒成立，
則

1

3

+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

）=

n+k

2n-1

，
即

1

3

+

1

2

（1-

1

2n-1

）=

n+k

2n-1

，
則

1

3

+

n-1

2n-1

=

n+k

2n-1

，
則k=

2n-4

3

不是常數(shù)，即不存在實數(shù)k使等式成立．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，考查裂項法求和，運算量較大，綜合性較強(qiáng)．