Question

13．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，
（1）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m＞n＞3，使得g（x）的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由x的范圍和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的值域，利用配方法化簡(jiǎn)y=[f（x）]²-2af（x）+3，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)a進(jìn)行分類討論，由單調(diào)性求出最小值即可；
（2）假設(shè)存在滿足題意的m、n，由一次函數(shù)的單調(diào)性和題意列出方程組，化簡(jiǎn)后由m＞n＞3判斷出結(jié)論不成立．

解答 解：（1）∵x∈[-1，1]，∴f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x∈[$\frac{1}{3}$，3]，…（1分）
y=[f（x）]²-2af（x）+3=[（$\frac{1}{3}$）^x]²-2a（$\frac{1}{3}$）^x+3
=[（$\frac{1}{3}$）^x-a]²+3-a²，…（3分）
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)分三種情況：
當(dāng)a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，y_min=g（a）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$；…（5分）
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a≤3時(shí)，y_min=g（a）=3-a²；…（6分）
當(dāng)a＞3時(shí)，y_min=g（a）=12-6a…（7分）
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}（a＜\frac{1}{3}）}\\{3-{a}^{2}（\frac{1}{3}≤a≤3）}\\{12-6a（a＞3）}\end{array}\right.$…（8分）
（2）假設(shè)存在滿足題意的m、n，
∵m＞n＞3，且g（x）=12-6x在 （3，+∞）上是減函數(shù)…（9分）
又g（x）的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n²，m²]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$     …（10分）
兩式相減得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6，但這與“m＞n＞3”矛盾…（11分）
∴滿足題意的m、n不存在…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及一元一次、一元二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查配方法、分類討論思想．