Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos$（{x-\frac{π}{12}}）$，x∈R．
（Ⅰ）求$f（{-\frac{π}{6}}）$的值；
（Ⅱ） 在平面直角坐標系中，以O(shè)x為始邊作角θ，它的終邊與單位圓相交于點P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），求$f（{2θ+\frac{π}{3}}）$．

Answer 1

分析 （1）由條件根據(jù)f（x）=$\sqrt{2}$cos$（{x-\frac{π}{12}}）$，可得 $f（{-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{2}$cos（-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$）的值．
（2）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出cosθ 和sinθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ 和cos2θ的值，從而利用兩角和差的三角公式求得$f（{2θ+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{4}$） 的值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos$（{x-\frac{π}{12}}）$，可得 $f（{-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{2}$cos（-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．
（2）以O(shè)x為始邊作角θ，它的終邊與單位圓相交于點P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），則cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=-$\frac{7}{25}$，
∴$f（{2θ+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2θcos$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$cos2θsin$\frac{π}{4}$=sin2θ+cos2θ=-$\frac{31}{25}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．