Question

5．已知拋物線y²=4x，過焦點且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A、B兩點，則△AOB的面積為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標F（1，0），用點斜式設出直線方程：y=$\sqrt{3}$（x-1），與拋物線方程聯(lián)解得一個關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系結合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．利用點到直線的距離求出三角形的高，即可求解面積．

解答 解：根據(jù)拋物線y²=4x方程得：焦點坐標F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan60°=$\sqrt{3}$
由直線方程的點斜式方程，設AB：y=$\sqrt{3}$（x-1）
將直線方程代入到拋物線方程當中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關系得：x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁•x₂=1，所以弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{3}$．
O到直線的距離為：d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△AOB的面積為：$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于難題．本題運用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對運算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關系和弦長公式是解決本題的關鍵．