Question

17．如圖，已知△ABC中，M為BC中點(diǎn)，G為AM上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{GM}$．過點(diǎn)G作直線l，分別交直線AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow a，\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow b$
（1）試用向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{AG}$；
（2）求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中線的向量性質(zhì)，得到$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，由已知$\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{GM}$．得到所求；
（2）利用$\overrightarrow{EG}$與$\overrightarrow{GF}$共線，得到m，n的關(guān)系式，變形可得．

解答 解：（1）由已知△ABC中，M為BC中點(diǎn)，G為AM上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{GM}$．得到$\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{3}{8}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；
（2）△ABC中，M為BC中點(diǎn)，G為AM上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{GM}$．過點(diǎn)G作直線l，分別交直線AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow a，\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow b$
$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{8}\overrightarrow{a}+\frac{3}{8}\overrightarrow-m\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{8}$-m）$\overrightarrow{a}+\frac{3}{8}\overrightarrow$；
$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AG}$=$-\frac{3}{8}\overrightarrow{a}$+（n-$\frac{3}{8}$）$\overrightarrow$，由$\overrightarrow{EG}∥\overrightarrow{GF}$，得到$\frac{9}{64}=（\frac{3}{8}-m）（\frac{3}{8}-n）$，整理得到mn=$\frac{3}{8}$（m+n），所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，利用共線向量基本定理，進(jìn)而得到m，n的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．