Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mln（x+1），若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，f′（x）=2x+

m

x+1

，在（-1，+∞）上的符號(hào)只有一種，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根據(jù)函數(shù)f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）總有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得m取值范圍是[

1

2

，+∞）；

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+mln（x+1），
∴f'（x）=

2x2+2x+m

x+1

，且f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，
若f'（x）≥0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+m≥0在（-1，+∞）上恒成立．
即m≥-2x²-2x=-2x（x+1）在（-1，+∞）上恒成立，
∵當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，-2x（x+1）=-2（x+

1

2

）2+

1

2

≤

1

2

∴m≥

1

2

；
若f'（x）≤0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+m≤0在（-1，+∞）上恒成立．
即m≤-2（x²+x）在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2（x²+x）在（-1，+∞）上沒(méi)有最小值，
∴不存在實(shí)數(shù)m使f'（x）≤0恒成立．
綜上可知，實(shí)數(shù)b的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，分類討論是解題與思考的難點(diǎn)．