Question

15．已知a＞0，曲線f（x）=2ax²-$\frac{1}{ax}$在點（1，f（1））處的切線的斜率為k，則當(dāng)k取最小值時a的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由基本不等式，可得斜率k的最小值，同時可得a的值．

解答 解：f（x）=2ax²-$\frac{1}{ax}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=4ax+$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
可得在點（1，f（1））處的切線的斜率k=4a+$\frac{1}{a}$，a＞0，
可得k=4a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{4a•\frac{1}{a}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)4a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$，k取得最小值4．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．