Question

8．如圖，線段AB=16，點C在線段AB上，且AC=6，P為段CB上一動點，點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D．則△CPD面積的最大值為（　�。�

• A． 9
• B． 12
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 本題要根據(jù)實際情況計算出面積函數(shù)的定義域，可以看出所給的條件是△CPD，故可根據(jù)其是三角形求出自變量的范圍．面積表達式可以用海倫公式求出，對所得的函數(shù)運用基本不等式，可求出函數(shù)的最大值．

解答 解：由題意，DC=6，CP=x，DP=10-x，
由△CPD的三邊的關(guān)系，可得$\left\{\begin{array}{l}{6+x＞10-x}\\{x+10-x＞6}\\{6+10-x＞x}\end{array}\right.$，解得x∈（2，8）
如圖，三角形的周長是一個定值16，
故其面積可用海倫公式S_△CPD=$\sqrt{s（s-a）（s-b）（s-c）}$，
其中s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
即△CPD的面積為$\sqrt{8•（8-6）•（8-x）•（8-10+x）}$
=$\sqrt{16（8-x）（x-2）}$，
由（8-x）（x-2）≤（$\frac{8-x+x-2}{2}$）²=9，
當且僅當8-x=x-2，可得x=5，取得最大值．
即有△CPD的面積最大值為12．
故選為：B．

點評 本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，本題中求面積用到了海倫公式，學習中積累一些知識儲備，視野開闊，易找出簡單的解題方法．本題考查到了基本不等式的運用，有一定的綜合性．