Question

若圓x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax+by=0的距離為2

2

，則直線l的斜率的取值范圍是（　�。�

• A、[2-

  3

  ，1]
• B、[2-

  3

  ，2+

  3

  ]
• C、[

  3

  3

  ，

  3

  ]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：求出圓心（2，2）與半徑3

2

，則圓x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax+by=0的距離為2

2

可化為圓心到直線l：ax+by=0的距離d≤

2

；從而求直線l的斜率的取值范圍．

解答： 解：圓x²+y²-4x-4y-10=0可化為
（x-2）²+（y-2）²=18，
則圓心為（2，2），半徑為3

2

；
則由圓x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax+by=0的距離為2

2

可得，
圓心到直線l：ax+by=0的距離d≤3

2

-2

2

=

2

；
即

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
則a²+b²+4ab≤0，
若a=0，則b=0，故不成立，
故a≠0，則上式可化為
1+（

b

a

）²+4

b

a

≤0，
由直線l的斜率k=-

b

a

，
則上式可化為1+k²-4k≤0，
則∈[2-

3

，2+

3

]，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓上點(diǎn)的距離的應(yīng)用，題意中將圓x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax+by=0的距離為2

2

可化為圓心到直線l：ax+by=0的距離d≤

2

；是本題解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．