Question

17．若正數(shù)x，y滿足x+2y=4xy，則x+$\frac{y}{2}$的最小值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將x+2y=4xy變形可得$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4，由此分析可得x+$\frac{y}{2}$=$\frac{1}{4}$×（x+$\frac{y}{2}$）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{2}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$），由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若x+2y=4xy，則有$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4，
則x+$\frac{y}{2}$=$\frac{1}{4}$×（x+$\frac{y}{2}$）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{2}$+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）≥$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{2}$+2）=$\frac{9}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{3}{4}$時等號成立；
即x+$\frac{y}{2}$的最小值為$\frac{9}{8}$；
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題基本不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是對x+2y=4xy變形，得到$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4．