Question

5．甲參加A，B，C三個科目的學(xué)業(yè)水平考試，其考試成績合格的概率如表，假設(shè)三個科目的考試甲是否成績合格相互獨立．

	科目A	科目B	科目C
甲	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$

（Ⅰ）求甲至少有一個科目考試成績合格的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲參加考試成績合格的科目數(shù)量為X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“甲至少有一個科目考試成績合格”為事件M，利用對立事件概率計算公式能求出甲至少有一個科目考試成績合格的概率．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）記“甲至少有一個科目考試成績合格”為事件M，
則P（$\overline{M}$）=（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{24}$，
∴甲至少有一個科目考試成績合格的概率：
P（M）=1-P（$\overline{M}$）=1-$\frac{1}{24}=\frac{23}{24}$．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{24}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{3}{4}）$+$（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{3}{4}）$+（1-$\frac{2}{3}$）×$（1-\frac{1}{2}）×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{11}{24}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

EX=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．