Question

15．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）的零點個數；
（2）是否存在實數a，b，c，使得f（x）同時滿足以下條件：
①對?x∈R，f（x-2）=f（-x）；
②對?x∈R，0≤f（x）-x≤$\frac{1}{2}$（x-1）²？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=-1代入得到關于a、b、c的關系式，再由△確定零點個數；
（2）假設存在a，b，c∈R使得條件成立，
由①可知函數f（x）的對稱軸是x=-1，令最值為0，由此可知a=c；
由②知將x=1代入可求的a、c與b的值，最后驗證成立即可．

解答 解：（1）二次函數f（x）=ax²+bx+c中，f（-1）=0，
所以a-b+c=0，即b=a+c；
又△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
當a=c時△=0，函數f（x）有一個零點；
當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點；
（2）假設a，b，c存在，由①知拋物線的對稱軸為x=-1，
所以-$\frac{2a}$=-1，即b=2a；
不妨令f（x）的最值為0，
則$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=0，
即b²=4ac，
所以4a²=4ac，
得出a=c；
由②知對?x∈R，都有0≤f（x）-x≤$\frac{1}{2}$（x-1）²，
不妨令x=1，可得0≤f（1）-1≤0，
即f（1）-1=0，
所以f（1）=1，
即a+b+c=1；
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{b=2a}\\{a=c}\end{array}\right.$解得a=c=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$；
當a=c=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$（x+1）²，其頂點為（-1，0）滿足條件①，
又f（x）-x=$\frac{1}{4}$（x+1）²，所以對?x∈R，都有0≤f（x）-x≤$\frac{1}{2}$（x+1）²，滿足條件②．
所以存在a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{4}$時，f（x）同時滿足條件①、②．

點評 本題考查了函數的零點與函數恒成立問題，也考查了綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，是綜合性問題．