Question

18．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（2，-1）在直線l上，求線段|AB|的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）ρsin²θ=4cosθ，兩邊同乘以ρ可知（ρsinθ）²=4ρcosθ，即y²=4x；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為，代入拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{{t}_{1}+{t}_{2}）}^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，可知y²=4x，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：y²=4x；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程 $\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$，代入y²=4x，整理t²+2t-7=0，
∴t₁+t₂=-2，t₁•t₂=-7，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{{t}_{1}+{t}_{2}）}^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4+4×7}$=4$\sqrt{2}$，
∴線段|AB|的長(zhǎng)度4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．