Question

12．已知S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n，n∈N⁺，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列通項公式和前n項和之間的關(guān)系進(jìn)行求解，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1²-$\frac{1}{2}$a_n-1，
即$\frac{1}{2}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1²-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）=0，
即$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）=0，
即$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，
∴a_n＞0，a_n+a_n-1＞0，
即a_n-a_n-1-1=0，
a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是公差d=1的等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時，S₁=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a₁=a₁，
即$\frac{1}{2}$a_n²=$\frac{1}{2}$a₁，
解得a₁=1或a₁=0（舍），
則a_n=1+n-1=n，
即{a_n}的通項公式為a_n=n．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系進(jìn)行遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．