Question

4．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足a_n=2S_n-1+2（n≥2）；數(shù)列{b_n}滿足b₁+b₂+b₃+…+b_n=n²+n．
（1）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若a₁=b₁，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=2S_n-1+2（n≥2），利用遞推關(guān)系可得：a_n+1=3a_n．n=2時(shí)，a₂=2a₁+2，只有當(dāng)a₁=2時(shí)，滿足a₂=3a₁，即可判斷出結(jié)論．
（II）利用遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=2S_n-1+2（n≥2），a_n+1-a_n=（2S_n+2）-（2S_n-1+2）=2a_n，化為a_n+1=3a_n．
n=2時(shí)，a₂=2a₁+2，只有當(dāng)a₁=2時(shí)，a₂=6=3a₁，
此時(shí)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，否則不是等比數(shù)列．
（II）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁+b₂+b₃+…+b_n=n²+n，
∴n=1時(shí)，b₁=2=a₁，
n≥2時(shí)，b_n=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，n=1時(shí)也成立．
∴b_n=2n．
此時(shí)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴a_n=2×3^n-1．
∴a_nb_n=4n×3^n-1．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n=4（1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1），
3T_n=4（3+2×3²+…+n×3ⁿ），
∴-2T_n=4（1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=4×$（\frac{{3}^{n}-1}{3-1}-n×{3}^{n}）$，
∴T_n=（2n-1）×3ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．