Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{π}{2}x-1，x＜0}\\{lo{g}_{a}x，x＞0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的圖象上關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)至少有3對，則實(shí)數(shù)a的范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• B． （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{5}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，∵x＜0時(shí)，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
則若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱，
則f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
設(shè)g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0與f（x）=log_ax，x＞0的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，
則0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），
即-2＜log_a5，即log_a5＞log_aa^-2，則5＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，作出函數(shù)關(guān)于y軸對稱的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，屬于中檔題．