Question

據(jù)民生所望，相關部門對所屬單位進行整治性核查，標準如下表：

查驗類別	甲	乙
所含指標項	4	2
每項初查合格率	2 3	1 2
每項復查合格率	1 2	1 2
每項核查合格權重分數(shù)	2	1
每項核查不合格權重分數(shù)	0	0

規(guī)定初查累計權重分數(shù)為10分或9分的不需要復查并給予獎勵，10分的獎勵18萬元；9分的獎勵8萬元；初查累計權重分數(shù)為7分及其以下的停下運營并罰款1萬元；初查累計權重分數(shù)為8分的要對不合格指標進行復查，最終累計權重得分等于初查合格部分與復查部分得分的和，最終累計權重分數(shù)為10分方可繼續(xù)運營，否則停業(yè)運營并罰款1萬元．
（1）求一家單位既沒獲獎勵又沒被罰款的概率；
（2）求一家單位在這次整治性核查中所獲金額X（萬元）的分布列和數(shù)學期望（獎勵為正數(shù)，罰款為負數(shù)）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：只有得8分的情況既沒有獎勵又沒有罰款，但是得8分時需要復查不合格指標項，所以符合題意的情況有：①甲的4個指標項合格，乙的2個指標項不合格，并對乙的2個指標項進行復查，②甲的4個指標項有3個合格，1個不合格，乙的2個指標項合格并對甲中不合格的1個指標項進行復查；第二問，通過已知條件得出，X有4種情況，列出概率表達式，列出分布列，利用期望的計算公式求數(shù)學期望．

解答： 解：記“初查階段甲類的一個指標項合格”為事件A，“初查階段乙類的一個指標項合格”為事件B，“復查階段一個指標項合格”為事件C，則P（A）=

2

3

，P（B）=P（C）=

1

2

． （Ⅰ）記“一家單位既沒獲獎勵又沒被罰款”為事件D，則
P（D）=[P（A）]⁴[P（

.

B

）]²[P（C）]²+

C

3 4

[P（A）]³[P（B）]²[P（C）]=

5

81

（Ⅱ）X的可能取值為-1，0，8，18．
P（X=18）=[P（A）]⁴[P（B）]²=

4

81

，
P（X=8）=[P（A）]⁴

C

1 2

[P（B）][P（

.

B

）]=

8

81

，
P（X=0）=P（1）=

5

81

，
P（X=-1）=1-P（X=18）-P（X=8）-P（X=0）=

64

81

．
X的分布列為

X	-1	0	8	18
P	64 81	5 81	8 81	4 81

X的數(shù)學期望EX=-1×

64

81

+0×

5

81

+8×

8

81

+18×

4

81

=

8

9

（萬元）．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等基礎知識，考查綜合分析問題解決問題的能力，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，考查計算能力