Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=

7

，C=

π

3

．
（1）若2sinA=3sinB，求a，b；
（2）若cosB=

3 10

10

，求sin2A的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入得到一個關(guān)系式，再將已知等式利用正弦定理化簡得到另一個關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可求出a與b的值；
（2）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，進(jìn)而確定出sin2B與cos2B的值，將sin2A變形為sin2（π-B-C），把C度數(shù)代入，利用兩角和與出的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）∵c=

7

，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=7①，
∵2sinA=3sinB，由正弦定理化簡得：2a=3b②，
∴聯(lián)立①②解得：a=3，b=2；
（2）∵cosB=

3 10

10

，B為三角形內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
∴sin2B=2sinBcosB=

3

5

，cos2B=2cos²B-1=

4

5

，
∴sin2A=sin2（π-B-C）=sin（

4π

3

-2B）=-

3

2

cos2B+

1

2

sin2B=

3-4 3

10

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．