Question

17．已知A，B是拋物線C：y²=2px（p＞0）上不同的兩點，點D在拋物線C的準線l上，且焦點F到直線x-y+2=0的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線AB過焦點F，且直線AD過原點O，求證：直線BD平行x軸．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點，由點到直線的距離公式，解得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）求得拋物線的焦點和準線方程，設(shè)直線AB：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理，再設(shè)直線AD：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，求得D的坐標，通過B，D的縱坐標，即可得證．

解答 （1）解：拋物線C：y²=2px的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可得d=$\frac{|\frac{p}{2}-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得p=2，
即有拋物線方程為y²=4x；
（2）證明：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
準線方程為x=-1，
設(shè)直線AB：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立拋物線方程，可得y²-4ty-4=0，
即有y₁y₂=-4，
直線AD：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
則有D（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
由于-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}}$=y₂，
故直線BD平行x軸．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．