Question

7．已知下列四個命題：
①若a＞0，b＞0，則a^lnb=b^lna；
②若x∈R，則cos（sinx）=sin（cosx）；
③不存在一個多項式函數(shù)P（x），使得對任意的實數(shù)x都有|P（x）-cosx|≤10^-3；
④若x＞0，則x⁴+3+x^-4≥5．
其中正確的命題的個數(shù)是3．

Answer 1

分析 ①由a＞0，b＞0，可得lnblna=lnalnb，因此a^lnb=b^lna，即可判斷出正誤；
②取x=0，則cos（sin0）=1，sin（cos0）=sin1，即可判斷出正誤；
③由于0≤|cosx|≤1，|P（x）|→+∞（|x|→+∞），因此不存在一個多項式函數(shù)P（x），使得對任意的實數(shù)x都有|P（x）-cosx|≤10^-3，即可判斷出正誤；
④利用基本不等式的性質(zhì)，即可判斷出正誤正確．

解答 解：①∵a＞0，b＞0，∴l(xiāng)nblna=lnalnb，∴a^lnb=b^lna，正確；
②取x=0，則cos（sin0）=1，sin（cos0）=sin1，因此cos（sinx）≠sin（cosx），故不正確；
③由于0≤|cosx|≤1，|P（x）|→+∞（|x|→+∞），因此不存在一個多項式函數(shù)P（x），使得對任意的實數(shù)x都有|P（x）-cosx|≤10^-3，故正確；
④若x＞0，則x⁴+3+x^-4≥$2\sqrt{{x}^{4}•\frac{1}{{x}^{4}}}$+3=5，當且僅當x=1時取等號，正確．
其中正確的命題的個數(shù)是3．
故答案為：3．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．