Question

2．已知拋物線E的頂點在原點，焦點為F（2，0），過焦點且斜率為k的直線交拋物線于P，Q兩點，
（1）求拋物線方程；
（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；
（3）過點T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN的面積最小值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線E的頂點在原點，焦點為F（2，0），即可得出拋物線方程．
（2）如圖，若k＞0，不妨設(shè)|QF|=a，則|PF|=2a．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點P作PH⊥l垂足為H，過點Q作QG⊥PH，垂足為G．可得|PG|=a．在RT△PQG中，可得|QM|=$2\sqrt{2}$a，因此k=tan∠QPG=$2\sqrt{2}$，即可得出．
（3）根據(jù)題意得AB，CD斜率存在．設(shè)$AB：x=my+t，CD：x=-\frac{1}{m}y+t$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．把直線方程分別拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點坐標(biāo)公式可得M，N的坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式可得，|TM|，|TN|．S_△TMN=$\frac{1}{2}|TM||TN|$及基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵拋物線E的頂點在原點，焦點為F（2，0），
∴y²=8x．
（2）如圖，若k＞0，不妨設(shè)|QF|=a，則|PF|=2a．
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，
過點P作PH⊥l垂足為H，過點Q作QG⊥PH，垂足為G．
|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．
在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，
得|QM|=$2\sqrt{2}$a，
∴k=tan∠QPG=$2\sqrt{2}$，
同理k＜0時，$k=-2\sqrt{2}$，
∴$k=±2\sqrt{2}$．
（3）根據(jù)題意得AB，CD斜率存在．
設(shè)$AB：x=my+t，CD：x=-\frac{1}{m}y+t$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\{y^2}=8x\end{array}\right.⇒{y^2}-8my-8t=0$，
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=4m⇒\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=4{m^2}+t⇒M（{4{m^2}+t，4m}）$，
同理可得$N（{\frac{4}{m^2}+t，-\frac{4}{m}}）$，
∴$|{TN}|=\sqrt{\frac{16}{m^4}+\frac{16}{m^2}}=\frac{4}{{{{|m|}^2}}}\sqrt{{m^2}+1}$，
$|{TM}|=\sqrt{16{m^4}+16{m^2}}=4|m|\sqrt{{m^2}+1}$，
∴${S_{△TMN}}=\frac{1}{2}|{TM}||{TN}|=8（{|m|+\frac{1}{|m|}}）≥16$，
當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時，面積取到最小值16．

點評 本題考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．