Question

15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0，y≥0\\ x-y+2≥0\\ 3x-y-2≤0\end{array}\right.$若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最大，此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此時目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，
即2a+4b=2，∴a+2b=1，
$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）×1=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）×（a+2b）=1+4+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$=5+2×2=5+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{2a}$，即a=b時取等號．
故最小值為9，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．