Question

10．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=1$，且向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線．
（1）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°，求$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$；
（2）若向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$cos45°．展開$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$，代入即可得出．
（2）由向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為鈍角，可得（$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$）＜0，且不能反向共線，即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$cos45°=$1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為鈍角，
∴（$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$）＜0，且不能反向共線，
∴${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=k²-1＜0，解得-1＜k＜1，k≠0
∴實數(shù)k的取值范圍是（-1，1）（k≠0）．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．