Question

10．用導數(shù)定義求函數(shù)y=f（x）=$\frac{2}{x}$+x在下列各點的導數(shù)．
（1）x=1；
（2）x=-2；
（3）x=x₀．

Answer 1

分析 根據(jù)導數(shù)的定義即可求出．

解答 解：（1）首先，對x=1給定自變量x的一個改變量△x，
得到相應函數(shù)值的改變量△y=f（1+△x）-f（1）=$\frac{{{{（△x）}^2}-△x}}{1+△x}$．再計算相應的平均變化率$\frac{△y}{△x}=\frac{{\frac{{{{（△x）}^2}-△x}}{1+△x}}}{△x}=1-\frac{2}{1+△x}$．當△x趨于0時，可以得出導數(shù)${f^'}（x）=\lim_{△x→0}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→0}（1-\frac{2}{1+△x}）=-1$．
（2）首先，對x=-2給定自變量x的一個該變量△x，得到相應函數(shù)值的該變量△y=f（-2+△x）-f（-2）=$\frac{△x}{-2+△x}+△x$．再計算相應函數(shù)的平均變化率$\frac{△y}{△x}=\frac{{\frac{△x}{-2+△x}+△x}}{△x}=\frac{1}{-2+△x}+1$．當△x趨于0時，得到導數(shù)${f^'}（-2）=\lim_{△x→0}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→0}（\frac{1}{-2+△x}+1）=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$．
（3）首先，對x=x₀給定自變量x的一個該變量△x，得到相應函數(shù)值的改變量$△y=f（{x_0}+△x）-f（{x_0}）=-\frac{2△x}{{{x_0}^2+{x_0}△x}}+△x$．再計算相應的平均變化率$\frac{△y}{△x}=\frac{{-\frac{2△x}{{{x_0}^2+{x_0}△x}}+△x}}{△x}=-\frac{2}{{{x_0}^2+{x_0}△x}}+1$．當△x趨于0時，可以得出導數(shù)${f^'}（x{\;}_0）=\lim_{△x→0}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→0}（-\frac{2}{{x{{{\;}_0}^2}+{x_0}△x}}+1）=-\frac{2}{{{x_0}^2}}+1$．

點評 本題主要考查導數(shù)的定義，以及導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)和瞬時變化率之間的關系求導數(shù)是解決本題的關鍵．